** Une mise favorable

Un sac contient des jetons numérotés 1, 2 et 3. Il y a trois fois plus de jetons numéro 1 que de jetons numéro 3, et deux fois plus de jetons numéro 2 que de jetons numéro 1. Un jeu consiste à engager une mise de son choix, puis à tirer un jeton au hasard :

• si le jeton porte le numéro 1, le joueur gagne sa mise ;
  
• si le jeton porte le numéro 2, le joueur gagne le carré de sa mise ;
  
• si le jeton porte le numéro 3, le joueur perd le cube de sa mise.
  

On note  \(X\) la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur et  \(E(X)\) son espérance.

1. Un joueur mise 1 €. Démontrer que le jeu n'est pas favorable au joueur.

2. Quelle doit-être la mise pour que le jeu soit équitable ?

3. Quelle doit-être la mise à ce jeu pour que le gain moyen sur un grand nombre de parties soit le plus grand possible ?